Question

在m（m≥2，m∈N⁺）个不同数的排列（P₁，P₂，…，P_m）中，若1≤i＜j≤m时，P_i＞P_j（即前面某数大于
后面某数）则称P_i与P_j构成一个逆序，一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数，例如排列（2，40，3，1）中有逆序“2与1”，“40与3”，“40与1”，“3与1”其逆序数等于4．
（1）求（1，3，40，2）的逆序数；
（2）已知n+2（n∈N⁺）个不同数的排列（P₁，P₂，…，P_n+1，P_n+2）的逆序数是2．
（ⅰ）求（P_n+2，P_n+1，…，P₂，P₁）的逆序数a_n
（ⅱ）令b_n=

an+2

an+1+2

+

an+1+2

an+2

，证明2n+

1

2

≤b₁+b₂+…+b_n＜2n+

5

3

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）（1，3，40，2）中逆序数有2个．
（2）（ⅰ）n+1数中任取两个比较大小，共有

C

2 n+2

个大小关系，由此能求出结果．
（ⅱ）bn=

an+2

an+1+2

+

an+1+2

an+2

=2+

2

n+1

-

2

n-3

，从而得到b₁+b₂+…+b_n=2n+1+

2

3

-

2

n+2

-

2

n+3

．由此能证明2n+

1

2

≤b₁+b₂+…+b_n＜2n+

5

3

．

解答： 解：（1）（1，3，40，2）有逆序“3，2”，“40，2”，其逆序数有2个．
（2）（ⅰ）n+1数中任取两个比较大小，
共有

C

2 n+2

个大小关系，
∴an

=C

2 n+2

-2，n∈N^*．
（ii）bn=

an+2

an+1+2

+

an+1+2

an+2

=

C 2 n+2

C 2 n+3

+

C 2 n+3

C 2 n+2

=

n+1

n+3

+

n+3

n+1

=2+

2

n+1

-

2

n-3

，
∴b₁+b₂+…+b_n=2n+

n

i=1

2

i+1

-

n

i=1

2

i+3

=2n+1+

2

3

-

2

n+2

-

2

n+3

．
∵y=-

2

n+2

-

2

n+3

单调递增，
∴-

2

3

-

1

2

≤-

2

n+2

-

2

n+3

＜0，
∴2n+

1

2

≤b₁+b₂+…+b_n＜2n+

5

3

．

点评：本题考查逆序数的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用，注意函数单调性的灵活运用．