Question

16．如图，在三棱锥V-ABC中，平面VAV⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=$\sqrt{2}$，O，M分别AB，VA的中点．
（Ⅰ）求证：VB∥平面 M OC；
（Ⅱ）求三棱锥V-A BC的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由O，M分别为AB，VA的中点，知OM∥VB．由此能证明VB∥平面MOC．
（Ⅱ）推导出OC⊥AB，从而OC⊥平面VAB．由三棱锥V-ABC的体积与三棱锥C-VAB的体积相等，能求出三棱锥V-ABC的体积．

解答 证明：（Ⅰ）因为O，M分别为AB，VA的中点，
所以OM∥VB．
又因为VB?平面MOC，OM?平面MOC，
所以VB∥平面MOC．…（4分）
解：（Ⅱ）因为AC=BC，O为AB的中点，所以OC⊥AB．
又因为平面VAB⊥平面ABC，且OC?平面ABC，所以OC⊥平面VAB．
在等腰直角三角形ACB中，$AC=BC=\sqrt{2}$，所以AB=2，OC=1．
所以等边三角形VAB的面积${S_{△VAB}}=\sqrt{3}$．又因为OC⊥平面VAB，
所以三棱锥C-VAB的体积等于$\frac{x^2}{{3{c^2}}}+\frac{y^2}{{2{c^2}}}=1$．
又因为三棱锥V-ABC的体积与三棱锥C-VAB的体积相等，
所以三棱锥V-ABC的体积为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．…（12分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．