Question

12．在数列{a_n}中，若对一切n∈N*都有a_n=-3a_n+1，且$\lim_{n→∞}（{a_2}+{a_4}+{a_6}+…+{a_{2n}}）$=$\frac{9}{2}$，则a₁的值为 -12．

Answer 1

分析 由题意可得数列{a_n}为公比为-$\frac{1}{3}$的等比数列，运用数列极限的运算，解方程即可得到所求．

解答 解：在数列{a_n}中，若对一切n∈N*都有a_n=-3a_n+1，
可得数列{a_n}为公比为-$\frac{1}{3}$的等比数列，
$\lim_{n→∞}（{a_2}+{a_4}+{a_6}+…+{a_{2n}}）$=$\frac{9}{2}$，
可得$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{a}_{2}（1-{q}^{2n}）}{1-{q}^{2}}$=$\frac{{a}_{2}}{1-{q}^{2}}$=$\frac{{a}_{1}q}{1-{q}^{2}}$=$\frac{-\frac{1}{3}{a}_{1}}{1-\frac{1}{9}}$=$\frac{9}{2}$，
可得a₁=-12．
故答案为：-12．

点评 本题考查等比数列的通项和求和公式，以及数列极限的运算，属于中档题．