Question

14．已知复数z+i，$\frac{z}{2+i}$均为实数，且在复平面内，（z+ai）²的对应点在第四象限内，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 复数z+i，$\frac{z}{2+i}$均为实数，可设z=x-i，$\frac{x-i}{2+i}$=$\frac{2x-1}{5}$-$\frac{2+x}{5}$i，可得-$\frac{2+x}{5}$=0，z=-2-i．在复平面内，（z+ai）²=4-（a-1）²-4（a-1）i的对应点在第四象限内，可得4-（a-1）²＞0，-4（a-1）＜0，解出即可得出．

解答 解：∵复数z+i，$\frac{z}{2+i}$均为实数，
设z=x-i，$\frac{x-i}{2+i}$=$\frac{（x-i）（2-i）}{（2+i）（2-i）}$=$\frac{2x-1}{5}$-$\frac{2+x}{5}$i，∴-$\frac{2+x}{5}$=0，
∴x=-2．
∴z=-2-i．
∵在复平面内，（z+ai）²=[-2+（a-1）i]²=4-（a-1）²-4（a-1）i的对应点在第四象限内，
∴4-（a-1）²＞0，-4（a-1）＜0，
解得：1＜a＜3．
∴实数a的取值范围是（1，3）．

点评 本题考查了复数的运算法则、复数为实数的充要条件、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．