Question

9．函数f（x）是定义在R上的偶函数，且 f（2）=0，当x＞0时，有xf′（x）-f（x）＞0恒成立，则不等式f（x）＜0的解集为（　　）

• A． （-∞，-2）∪（2，+∞）
• B． （-∞，-2）∪（0，2）
• C． （-2，0）∪（0，2）
• D． （-2，0）∪（2，+∞）

Answer 1

分析 设g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，根据函数的单调性和函数的奇偶性求出不等式的解集即可．

解答 解：设g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，
∴g′（x）=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$，
∵当x＞0时，有xf′（x）-f（x）＞0恒成立，
∴当x＞0时，g′（x）＞0
∴g（x）在（0，+∞）递增，
∵f（-x）=f（x），
∴g（-x）=$\frac{f（-x）}{-x}$=-g（x），
∴g（x）是奇函数，
∴g（x）在（-∞，0）递增，
∵f（2）=0
∴g（2）=$\frac{f（2）}{2}$=0，
当x＞0时，f（x）＜0等价于$\frac{f（x）}{x}$＜0，
∴g（x）＜0=g（2），
∴0＜x＜2，
当x＜0时，f（x）＜0等价于$\frac{f（x）}{x}$＞0，
∴g（x）＞0=g（-2），
∴-2＜x＜0，
不等式f（x）＜0的解集为（-2，0）∪（0，2），
故选：C．

点评 本题主要考察函数奇偶性的应用，考查函数的单调性，是一道中档题．