Question

19．某厂家拟在“五一”节举行大型促销活动，经测算某产品销售价格x（单位：元/件）与每日销售量y（单位：万件）满足关系式y=$\frac{a}{x-2}$+2（x-5）²，其中2＜x＜5，a为常数，已知销售价格为3元时，每日销售量10万件．
（1）求a的值；
（2）若该商品的成本为2元/件，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．

Answer 1

分析 （1）由f（3）=10代入函数的解析式，解关于a的方程，可得a值；
（2）商场每日销售该商品所获得的利润=每日的销售量×销售该商品的单利润，可得日销售量的利润函数为关于x的三次多项式函数，再用求导数的方法讨论函数的单调性，得出函数的极大值点，从而得出最大值对应的x值．

解答 解：（1）因为x=3时，y=10，所以a+8=10，故a=2；
（2）由（1）可知，该商品每日的销售量y=$\frac{2}{x-2}$+2（x-2）²，
所以商场每日销售该商品所获得的利润为
f（x）=（x-2）[$\frac{2}{x-2}$+2（x-5）²]=2+2（x-2）（x-5）²，
从而，f′（x）=6（x-5）（x-3），
于是，当x变化时，f（x）、f′（x）的变化情况如下表：

x	（2，3）	3	（3，5）
f'（x）	+	0	-
f（x）	单调递增	极大值10	单调递减

由上表可得，x=3是函数f（x）在区间（2，5）内的极大值点，也是最大值点．
所以，当x=3时，函数f（x）取得最大值，且最大值等于10，
答：当销售价格为3元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．

点评 本题函数解析式的建立比较容易，考查的重点是利用导数解决生活中的优化问题，属于中档题．