Question

5．已知数列{a_n}中，a₁=2，当n≥2时，$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$+n-1，设b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-1，则$\frac{1}{{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{3}}$+…+$\frac{1}{{b}_{20}}$等于（　　）

• A． $\frac{19}{10}$
• B． $\frac{29}{20}$
• C． $\frac{40}{21}$
• D． $\frac{36}{19}$

Answer 1

分析 当n≥2时，$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$+n-1，即有$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}-\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}=n+1$
可得（$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}-\frac{{a}_{1}}{{2}_{1}}）+（\frac{{a}_{3}}{{2}^{3}}-\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}）+…（\frac{{a}_{n}}{{2}^{2}}-\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}）$+（$\frac{{a}_{3}}{{2}^{3}}-\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$）+…+（$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}-\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$）=1+2+…+（n-1）
b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-1=$\frac{n（n-1）}{2}$，$\frac{1}{{b}_{n}}$=2（$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$）
则$\frac{1}{{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{3}}$+…+$\frac{1}{{b}_{20}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}}$=2（$\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$）即可求解

解答 解：∵当n≥2时，$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$+n-1，∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}-\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}=n+1$
$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}-\frac{{a}_{1}}{{2}^{1}}=1，\frac{{a}_{3}}{{2}^{3}}-\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}=2，…\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}-\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}=n-1$
∴（$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}-\frac{{a}_{1}}{{2}_{1}}）+（\frac{{a}_{3}}{{2}^{3}}-\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}）+…（\frac{{a}_{n}}{{2}^{2}}-\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}）$+（$\frac{{a}_{3}}{{2}^{3}}-\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$）+…+（$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}-\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$）=1+2+…+（n-1）
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}-\frac{{a}_{1}}{{2}^{1}}=\frac{（n-1）（1+n-1）}{2}=\frac{n（n-1）}{2}$
∴b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-1=$\frac{n（n-1）}{2}$，$\frac{1}{{b}_{n}}$=2（$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$）
∴则$\frac{1}{{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{3}}$+…+$\frac{1}{{b}_{20}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}}$=2（$\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$）
故$\frac{1}{{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{3}}$+…+$\frac{1}{{b}_{20}}$等于2（1-$\frac{1}{20}$）=$\frac{19}{10}$
故选：A

点评 本题考查了累加法求数列通项，裂项相消法求和，属于中档题．