Question

已知函数f（x）=（e-1）lnx-x+a（a＞1）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）记函数f（x）在区间[1，a]上的最小值为g（a）．
（i）求g（a）的表达式；（ii）求满足g（a）=g（

4

a

）的实数a的取值集合．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）求出函数f（x）的导数，令导数对于0，得增区间，令导数小于0，得减区间，注意函数的定义域；
（2）（i）易知f（e）=f（1）=a-1，讨论当1＜a≤e时，当a＞e时，求出最小值；
（ii）易知g（a）在[1，+∞）上单调递增，则g（a）=g（

4

a

）即有a=

4

a

，即可求得a的值．

解答： 解：（1）函数f（x）的导数为f′(x)=

e-1

x

-1=

e-1-x

x

(x＞0)，
当0＜x＜e-1时，f′（x）＞0，当x＞e-1时，f′（x）＜0，
则f（x）的单调递增区间为（0，e-1），递减区间为（e-1，+∞）；
（2）易知f（e）=f（1）=a-1，
（i）①当1＜a≤e时，f（x）_min=f（1）=a-1，
②当a＞e时，[1，a]为减区间，则f（x）_min=f（a）=（e-1）lna
∴g（a）=

a-1，1＜a≤e (a-1)lna，a＞e

；
（ii）易知g（a）在[1，+∞）上单调递增，
∴g(a)=g(

4

a

)?a=

4

a

(a＞1)，
∴a=2，
∴满足g(a)=g(

4

a

)的实数a的取值集合为{2}．

点评：本题考查导数的运用：求单调区间、极值和最值，考查函数的单调性的运用，考查运算能力，属于中档题．