Question

已知椭圆Γ：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，且椭圆Γ 的右焦点F与抛物线y²=4x的焦点重合．
（Ⅰ）求椭圆Γ 的标准方程；
（Ⅱ）如图，设直线m：y=2x与椭圆Γ 交于A，B两点（其中点A在第一象限），且直线m与定直线x=2交于D，过D作直线DC∥AF交x轴于点C，试判断直线AC与椭圆Γ 的公共点个数．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）设F（c，0），由已知得c=1，

c

a

=

2

2

，由此能求出椭圆Γ 的标准方程．
（Ⅱ）联立

y=2x x2+2y2=2

，解得A的坐标为（

2

3

，

2 2

3

）．从而

FA

=（

2

3

-1，

2 2

3

）．设C的坐标为（m，0），则有

CD

=（2-m，4）．从而m=3

2

，由此能推导出直线AC与椭圆Γ有且仅有一个公共点．

解答： 解：（Ⅰ）设F（c，0），∵椭圆Γ 的右焦点F与抛物线y²=4x的焦点重合，
∴c=1，又

c

a

=

2

2

，解得a=

2

，于是有b²=a²-c²=1．
故椭圆Γ 的标准方程为

x2

2

+y2=1．  …（4分）
（Ⅱ）联立

y=2x x2+2y2=2

，解得x²=

2

9

，
A的坐标为（

2

3

，

2 2

3

）．
故

FA

=（

2

3

-1，

2 2

3

）．
依题意可得点D的坐标为（2，4）．
设C的坐标为（m，0），故

CD

=（2-m，4）．
因为FA∥CD，所以（

2

3

-1）×4-(2-m)×

2 2

3

=0，
解得m=3

2

，
于是直线AC的斜率为k_AC=

2 2 3 -0

2 3 -3 2

=-

1

4

，…（8分）
从而得直线AC的方程为：y=-

1

4

(x-3

2

)，
代入x²+2y²=2，得x2+

1

8

(x2-6

2

x+18)=2，
即9x2-6

2

x+2=0，知△=72-72=0，
故直线AC与椭圆Γ有且仅有一个公共点．…（13分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的交点个数的判断，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．