题目内容
已知△ABC的三个内角A，B，C的对边依次是a，b，c，且A=30°，a=1．
（Ⅰ）若B=45°，求b的大小；
（Ⅱ）若sinC=sin（B-A），求△ABC的面积．
（Ⅰ）若B=45°，求b的大小；
（Ⅱ）若sinC=sin（B-A），求△ABC的面积．
考点：正弦定理
专题：解三角形
分析：（Ⅰ）由正弦定理列出关系式，把sinA，sinB以及a的值代入求出b的值即可；
（Ⅱ）已知等式左边利用诱导公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后求出cosB=0，确定出B为直角，利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出b的值，再利用勾股定理求出c的值，即可确定出三角形ABC面积．
（Ⅱ）已知等式左边利用诱导公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后求出cosB=0，确定出B为直角，利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出b的值，再利用勾股定理求出c的值，即可确定出三角形ABC面积．
解答：
解：（Ⅰ）由正弦定理得
=
，即
=
，
解得：b=
=
；
（Ⅱ）∵sinC=sin（B-A），
∴sin（A+B）=sin（B-A），
∴sinAcosB+cosAsinB=sinBcosA-cosBsinA．
整理得：sinAcosB=0，
∵sinA≠0，∴cosB=0，
∴B=90°，
∵A=30°，a=1，
∴b=2a=2，c=
=
，
则△ABC的面积S=
ac=
．
| a |
| sinA |
| b |
| sinB |
| 1 |
| sin30° |
| b |
| sin45° |
解得：b=
| sin45° |
| sin30° |
| 2 |
（Ⅱ）∵sinC=sin（B-A），
∴sin（A+B）=sin（B-A），
∴sinAcosB+cosAsinB=sinBcosA-cosBsinA．
整理得：sinAcosB=0，
∵sinA≠0，∴cosB=0，
∴B=90°，
∵A=30°，a=1，
∴b=2a=2，c=
| b2-a2 |
| 3 |
则△ABC的面积S=
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
点评：此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
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