Question

已知A（-2，0），B（2，0），点P在圆（x-3）²+（y-4）²=1上运动，则PA²+PB²的最小值是

 

．

Answer 1

考点：两点间距离公式的应用

专题：计算题,直线与圆

分析：由点A（-2，0），B（2，0），设P（a，b），则|PA|²+|PB|²=2a²+2b²+8，由点P在圆（x-3）²+（y-4）²=1上运动，通过三角代换，化简|PA|²+|PB|²为一个角的三角函数的形式，然后求出最小值．

解答： 解：∵点A（-2，0），B（2，0），
设P（a，b），则|PA|²+|PB|²=2a²+2b²+8，
由点P在圆（x-3）²+（y-4）²=1上运动，
（a-3）²+（b-4）²=1，
令a=3+cosα，b=4+sinα，
所以|PA|²+|PB|²=2a²+2b²+8
=2（3+cosα）²+2（4+sinα）²+8
=60+12cosα+16sinα
=60+20sin（α+φ），（tanφ=

3

4

）．
所以|PA|²+|PB|²≥40．当且仅当sin（α+φ）=-1时，取得最小值．
∴|PA|²+|PB|²的最小值为40．
故答案为：40．

点评：本题考查直线的一般式方程与两点间距离公式的应用，具体涉及到直线方程和圆的简单性质，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．