Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+h（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）．在一个周期内，当x=

π

12

时，y取得最大值6，当x=

7π

12

时，y取得最小值0．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的单调递增区间与对称中心坐标；
（3）当x∈[-

π

12

，

π

6

]时，函数y=mf（x）-1的图象与x轴有交点，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：正弦函数的图象,三角函数的最值

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）根据函数f（x）=Asin（ωx+φ）+h（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）．在一个周期内，当x=

π

12

时，y取得最大值6，当x=

7π

12

时，y取得最小值0．求出A，B，ω，φ的值，进而可得函数f（x）的解析式；
（2）由（1）中函数f（x）的解析式，结合正弦型函数的单调性和对称性，可得函数f（x）的单调递增区间与对称中心坐标；
（3）分析当x∈[-

π

12

，

π

6

]时，函数y=mf（x）-1的取值范围，进而可得函数图象与x轴有交点时实数m的取值范围．

解答： 解：（1）∵在一个周期内，当x=

π

12

时，y取得最大值6，当x=

7π

12

时，y取得最小值0，A＞0，
故A=

6-0

2

=3，B=

6+0

2

=3，

T

2

=

7π

12

-

π

12

=

π

2

，
故T=π，
又∵ω＞0
∴ω=2，
将x=

π

12

，y=6，代入得

π

6

+φ=

π

2

+2kπ，k∈Z，
∴φ=

π

3

+2kπ，k∈Z，
又∵|φ|＜π，
∴φ=

π

3

，
∴f(x)=3sin(2x+

π

3

)+3；
（2）由2x+

π

3

∈[-

π

2

+2kπ，

π

2

+2kπ]，k∈Z得：
x∈[-

5

12

π+kπ，

1

12

π+kπ]，k∈Z，
∴函数f（x）递增区间[-

5

12

π+kπ，

1

12

π+kπ]，k∈Z；
由2x+

π

3

=kπ+π，k∈Z得：
x=

π

3

+

kπ

2

，k∈Z，
∴函数f（x）对称中心(

π

3

+

kπ

2

，3)，k∈Z；
（3）当x∈[-

π

12

，

π

6

]时，2x+

π

3

∈[

π

6

，

2π

3

]，
3sin(2x+

π

3

)∈[

3

2

，3]，f(x)∈[

9

2

，6]，
若y=mf（x）-1，则f(x)=

1

m

，
∴m∈[

1

6

，

2

9

]．

点评：本题考查的知识点是正弦函数解析式的求法，正弦函数的单调性和对称性，正弦函数的值域，熟练掌握正弦型函数的图象和性质是解答的关键．