Question

已知椭圆

x

m

+y²=1和双曲线

x2

n2

-y²=1共焦点F₁，F₂，P为两曲线的一个公共点，则∠F₁PF₂的大小为（　　）

• A、

  π

  3

• B、

  π

  4

• C、

  2

  3

  π
• D、

  π

  2

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由椭圆与双曲线的定义，得|PF₁|+|PF₂|=2

m

，|PF₁|-|PF₂|=±2|n|，由此得到2（|PF₁|²+|PF₂|²）=4m+4n²，4|PF₁|•|PF₂|=4m-4n²，再由余弦定理，求出cos∠F₁PF₂，即可得出结论．

解答： 解：由椭圆与双曲线的定义，得：
|PF₁|+|PF₂|=2

m

，|PF₁|-|PF₂|=±2|n|，
两式分别平方后，相加得 2（|PF₁|²+|PF₂|²）=4m+4n²，
两式分别平方后相减，得 4|PF₁|•|PF₂|=4m-4n²，
因此，由余弦定理，得
cos∠F₁PF₂=（|PF₁|²+|PF₂|²-|F₁F₂|²）÷（2|PF₁|•|PF₂|）
=（2m+2n²-4n²-4）÷（2m-2n²）=0，
∴∠F₁PF₂=

π

2

，
故选：D．

点评：本题考查∠F₁PF₂的大小的求法，是中档题，解题时要注意审题，注意椭圆、双曲线的简单性质的灵活运用，注意余弦定理的合理运用．