题目内容
已知数列{an}的首项为a1=1，且满足对任意的n∈N*，都有an+1-an≤2n，an+2-an≥3×2n成立，则a2014=（ ）
| A、22014-1 |
| B、22014+1 |
| C、22015-1 |
| D、22015+1 |
考点：数列递推式
专题：点列、递归数列与数学归纳法,不等式的解法及应用
分析：由an+2-an≥3×2n，得an+2-an+1+an+1-an≥3×2n，结合an+1-an≤2n得an+1-an+2≥-2×2n，则
得到an+1-an≥2n，进一步得到an+1-an=2n．然后利用累加法求出数列{an}的通项公式，则答案可求．
得到an+1-an≥2n，进一步得到an+1-an=2n．然后利用累加法求出数列{an}的通项公式，则答案可求．
解答：
解：由an+2-an≥3×2n，得
an+2-an+1+an+1-an≥3×2n ①，
且an+2-an+1≤2×2n，
即an+1-an+2≥-2×2n ②，
①+②得：an+1-an≥2n，
又an+1-an≤2n，
∴an+1-an=2n．
∴an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1
=2n-1+2n-2+…+22+21+1
=
=2n-1．
∴a2014=22014-1．
故选：A．
an+2-an+1+an+1-an≥3×2n ①，
且an+2-an+1≤2×2n，
即an+1-an+2≥-2×2n ②，
①+②得：an+1-an≥2n，
又an+1-an≤2n，
∴an+1-an=2n．
∴an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1
=2n-1+2n-2+…+22+21+1
=
| 1-2n |
| 1-2 |
∴a2014=22014-1．
故选：A．
点评：本题考查了数列递推式，考查了数列与不等式的综合，训练了累加法求数列的通项公式，由两不等式联立得到an+1-an=2n是解答该提的关键，是中高档题．
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