Question

1．三棱锥P-ABC中，底面ABC为等边三角形，O为△ABC的中心，平面PBC⊥平面ABC，PB=PC=BC=$\sqrt{3}$，D为AP上一点，且AD=2DP．
（I）求证：DO∥平面PBC；
（II）求证：AC⊥平面OBD；
（III）求三棱锥B-PDC的体积．

Answer 1

分析 （I）延长AO交BC于E，连结PE，于是$\frac{AD}{DP}=\frac{AO}{OE}$，故而DO∥PE，从而得出DO∥平面PBC；
（II）由面面垂直的性质可得PE⊥平面ABC，得出PE⊥AC，于是DO⊥AC，结合AC⊥OB得出AC⊥平面ODB；
（III）根据面面垂直得出AE⊥平面PBC，从而得出D到平面PBC的距离，代入棱锥的体积公式计算即可．

解答 证明：（I）延长AO交BC于E，连结PE．
∵O是等边ABC的中心，
∴AO=2OE，又∵AD=2DP，
∴OD∥PE，又∵OD?平面PBC，PE?平面PBC，
∴DO∥平面PBC．
（II）∵O是等边三角形ABC的中心，OA∩BC=E，
∴OB⊥AC，E是BC的中点，又∵PB=PC，
∴PE⊥BC．
∵平面PBC⊥平面ABC，平面PBC∩平面ABC=BC，PE⊥BC，PE?平面PBC，
∴PE⊥平面ABC，∵AC?平面ABC，
∴PE⊥AC，又PE∥DO，
∴DO⊥AC，
又DO?平面ODB，OB?平面ODB，OD∩OB=O，
∴AC⊥平面ODB．
（III）∵AE⊥BC，平面PBC⊥平面ABC，平面PBC∩平面ABC=BC，AE?平面ABC，
∴AE⊥平面PBC，
∵O是等边三角形ABC的中心，
∴AE=$\frac{3}{2}$，
∵AD=2DP，
∴D到平面PBC的距离h=$\frac{1}{3}$AE=$\frac{1}{2}$，
∵△PBC是边长为$\sqrt{3}$的等边三角形，
∴S_△PBC=$\frac{\sqrt{3}}{4}×3$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
∴V_B-PDC=V_D-PBC=$\frac{1}{3}{S}_{△PBC}•h$=$\frac{1}{3}×\frac{3\sqrt{3}}{4}×\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{8}$．

点评 本题考查了线面垂直、线面平行的判定，面面垂直的性质，棱锥的体积计算，属于中档题．