Question

9．函数f（x）=ax^m（1-2x）ⁿ（a＞0）在区间[0，$\frac{1}{2}$]上的图象如图所示，则m、n的值可能是（　　）

• A． m=1，n=1
• B． m=1，n=2
• C． m=2，n=3
• D． m=3，n=1

Answer 1

分析 由图得，原函数的极大值点约为0.375．把选项代入验证看哪个对应的极大值点符合要求即可得出答案．

解答 解：由于本题是选择题，可以用代入法来作，
由图得，原函数的极大值点约为0.375．
当m=1，n=1时，f（x）=ax（1-2x）=-2a（x-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{a}{8}$．在x=$\frac{1}{4}$处有极大值，故A错误；
当m=1，n=2时，f（x）=ax^m（1-2x）ⁿ=ax（1-2x）²=a（4x³-4x²+x），
所以f′（x）=a（2x-1）（6x-1），a＞0，令f′（x）=0⇒x=$\frac{1}{2}$，x=$\frac{1}{6}$，
即函数在x=$\frac{1}{6}$处有极大值，故B错误；
当m=2，n=3时，f（x）=ax^m（1-2x）ⁿ=ax²（1-2x）³，有f'（x）=a（1-2x）²（2x-10x²），
令f′（x）=0⇒x=0，x=$\frac{1}{5}$，x=$\frac{1}{2}$，即函数在x=$\frac{1}{5}$处有极大值，故C错误；
当m=3，n=1时，f（x）=ax^m（1-2x）ⁿ=ax³（1-2x）=a（x³-2x⁴），
有f′（x）=ax²（3-8x），令f′（x）=0，⇒x=0，x=$\frac{3}{8}$，即函数在x=$\frac{3}{8}$处有极大值，故D正确．
故选：D．

点评 本题主要考查函数的最值（极值）点与导函数之间的关系．在利用导函数来研究函数的极值时，分三步①求导函数，②求导函数为0的根，③判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值．本题考查利用极值求对应变量的值．可导函数的极值点一定是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点．