Question

11．设F（x）=$\frac{f（x）}{g（x）}$是（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，当x＜0时，f'（x）g（x）-f（x）g'（x）＞0，且f（2）=0，则不等式F（x）＜0的解集是（　　）

• A． （-2，0）∪（2，+∞）
• B． （-2，0）∪（0，2）
• C． （-∞，-2）∪（2，+∞）
• D． （-∞，-2）∪（0，2）

Answer 1

分析 当x＜0时，F′（x）=[$\frac{f（x）}{g（x）}$]′=$\frac{{f}^{'}（x）g（x）-f（x）{g}^{'}（x）}{[g（x）]^{2}}$＜0，从而F（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）单调递增，利用f（2）=0，得到F（-2）=F（2）=0，由此能求出F（x）＜0的解集．

解答 解：∵F（x）=$\frac{f（x）}{g（x）}$是（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，
∴f（x）和g（x）同为偶函数或同为奇函数，
当f（x）和g（x）同为偶函数时，f（-x）=f（x），g（-x）=g（x），
当f（x）和g（x）同为奇函数时，f（-x）=-f（x），g（-x）=-g（x），
∵当x＜0时，f′（x）g（x）-f（x）g′（x）＜0
∴当x＜0时，F′（x）=[$\frac{f（x）}{g（x）}$]′=$\frac{{f}^{'}（x）g（x）-f（x）{g}^{'}（x）}{[g（x）]^{2}}$＜0，
∴F（x）在（-∞，0）上单调递减
∵F（x）为偶函数，
根据偶函数的性质可得函数F（x）在（0，+∞）单调递增，
又f（2）=0，∴f（-2）=0，∴F（-2）=F（2）=0
F（x）＜0的解集为（-2，0）∪（0，2）．
故选：B．

点评 本题考查导数的性质及应用、函数的奇偶性、单调性等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．