题目内容
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=| π |
| 2 |
（1）求证：直线BC1∥平面A1CD；
（2）求平面A1CD与平面A1C1E所成角的正弦值．
考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定
专题：空间位置关系与距离,空间角
分析：（1）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明直线BC1∥平面A1CD．
（2）分别求出平面A1C1E的法向量和平面A1CD的法向量，利用向量法能求出平面A1CD与平面A1C1E所成角的正弦值．
（2）分别求出平面A1C1E的法向量和平面A1CD的法向量，利用向量法能求出平面A1CD与平面A1C1E所成角的正弦值．
解答：
（1）证明：
以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，
建立空间直角坐标系，
则B（0，2，0），C1（0，0，2），A1（2，0，2），
C（0，0，0），A（2，0，0），D（1，1，0），
=（0，-2，2），
=（2，0，2），
=（1，1，0），
设平面A1CD的法向量
=（x，y，z），
则
，
取x=1，得
=（1，-1，-1），
∵
•
=0+2-2=0，且BC1不包含于平面A1CD，
∴直线BC1∥平面A1CD．
（2）解：∵E（0，2，1），
∴
=（2，0，0），
=（0，2，-1），
设平面A1C1E的法向量
=（a，b，c），
则
，
取b=1，得
=（0，1，2），
设平面A1CD与平面A1C1E所成角为θ，
则cosθ=|cos＜
，
＞|=|
|=
，
∴sinθ=
=
．
∴平面A1CD与平面A1C1E所成角的正弦值为
．
以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，
则B（0，2，0），C1（0，0，2），A1（2，0，2），
C（0，0，0），A（2，0，0），D（1，1，0），
| BC1 |
| CA1 |
| CD |
设平面A1CD的法向量
| n |
则
|
取x=1，得
| n |
∵
| n |
| BC1 |
∴直线BC1∥平面A1CD．
（2）解：∵E（0，2，1），
∴
| C1A1 |
| C1E |
设平面A1C1E的法向量
| m |
则
|
取b=1，得
| m |
设平面A1CD与平面A1C1E所成角为θ，
则cosθ=|cos＜
| m |
| n |
| 0-1-2 | ||||
|
| ||
|
∴sinθ=
1-
|
| ||
| 5 |
∴平面A1CD与平面A1C1E所成角的正弦值为
| ||
| 5 |
点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
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