Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，A₁B₁⊥BC，BC=1，AA₁=AC=2，E、F分别为A₁C₁、BC的中点．
（Ⅰ）求证：C₁F∥平面EAB；
（Ⅱ）求三棱锥A-BCE的体积．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）法一：取AB的中点G，连接EG，证明C₁F平行于平面ABE内的直线EG即可；
法二：取AC中点H，证明平面C₁HF∥平面ABE，即可证明C₁F∥平面ABE；
（Ⅱ）利用等积法，三棱锥A-BCE的体积V_A-BCE=V_E-ABC，求出即可．

解答： 解：（Ⅰ）法一：取AB中点G，连结EG，FG，…（1分）
∵E，F分别是A₁C₁，BC的中点，
∴FG∥AC，且FG=

1

2

AC；
又∵AC∥A₁C₁，且AC=A₁C₁，
∴FG∥EC₁，且FG=EC₁，
∴四边形FGEC₁为平行四边形，…（4分）
∴C₁F∥EG；
又∵EG?平面ABE，C₁F?平面ABE，
∴C₁F∥平面ABE；…（6分）
法二：取AC中点H，连结C₁H，FH，…（1分）
则C₁E∥AH，且C₁E=AH，
∴四边形C₁EAH为平行四边形，
∴C₁H∥EA；
又∵EA?平面ABE，C₁H?平面ABE，
∴C₁H∥平面ABE，…（3分）
∵H、F分别为AC、BC的中点，
∴HF∥AB；
又∵AB?平面ABE，FH?平面ABE，
∴FH∥平面ABE；…（4分）
又∵C₁H∩FH=H，C₁H?平面C₁HF，FH?平面C₁HF，
∴平面C₁HF∥平面ABE；…（5分）
又∵C₁F?平面C₁HF，
∴C₁F∥平面ABE；…（6分）
（Ⅱ）∵AA₁=AC=2，BC=1，AB⊥BC，
∴AB=

CA2-CB2

=

3

；…（8分）
∴三棱锥A-BCE的体积为
V_A-BCE=V_E-ABC…（10分）
=

1

3

S_△ABC•AA₁
=

1

3

×

1

2

×

3

×1×2=

3

3

．…（12分）

点评：本题考查了空间中的平行与垂直关系的判断与性质应用问题，也考查了求空间几何体的体积的计算问题，是中档题目．