Question

已知函数f（x）=ax²-（a+1）x+1，a∈R．
（1）求证：函数f（x）的图象与x轴有交点；
（2）当a＞0时，求函数y=

f(x)

的定义域；
（3）若存在m＞0使关于x的方程f（|x|）=m+

1

m

有四个不同的实根，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用分类讨论思想证明函数与x轴的交点．
（2）进一步利用分类讨论思想求函数的定义域．
（3）根据方程有四个交点确定

△=(a+1)2-4a(1-t)＞0 a+1 a ＞0 1-t a ＞0

最后解不等式组求的结果．

解答： 证明：（1）已知函数f（x）=ax²-（a+1）x+1，a∈R．
①当a=0时，f（x）=-x+1，
则与x轴的交点坐标为：（1，0）；
②当a＞0时，函数f（x）为开口方向向上的抛物线，
则：△=（a+1）²-4a=（a-1）²≥0；
③当a＜0时，函数f（x）为开口方向向下的抛物线，
则：△=（a+1）²-4a=（a-1）²≥0；
综上所述：函数f（x）的图象与x轴有交点；
解：（2）当a＞0时，y=

f(x)

=

ax2-(a+1)x+1

①当a=1时，y=

f(x)

=

ax2-(a+1)x+1

=

(x-1)2

，
所以x∈R；
②当0＜a＜1时，y=

f(x)

=

ax2-(a+1)x+1

=

(ax-1)(x-1)

，
则x的定义域为：{x|x＞

1

a

或x＜1}；
③当a＞1时，
y=

f(x)

=

ax2-(a+1)x+1

=

(ax-1)(x-1)

，
则x的定义域为：{x|x＞1或x＜

1

a

}；
解：（3）令t=m+

1

m

≥2，
则：关于x的方程f（|x|）=t有四个不等的实数根．
即：a|x|²+（a+1）|x|+1-t=0有四个不等的实数根．
即：ax²+（a+1）x+1-t=0有两个正根．
则：

△=(a+1)2-4a(1-t)＞0 a+1 a ＞0 1-t a ＞0

，
解得：a＜-1．

点评：本题考查的知识要点：函数的分类讨论的应用，函数的定义域，及函数的根的情况．属于中等题型．