Question

已知在数列{a_n}中，a₁=

1

6

，a_n=

1

2

a_n-1+

1

2

•

1

3n

（n∈N⁺，n≥2）．
（1）证明：数列{a_n+

1

3n

}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

考点：等比关系的确定,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）原式转化为a_n+

1

3n

=

1

2

（a_n-1+

1

3n-1

），再求出a₁+

1

3

=

1

2

，继而得以证明，
（2）由（1）可知a_n+

1

3n

=

1

2

×(

1

2

)n-1=(

1

2

)n，整理化简得到a_n=(

1

2

)n-

1

3n

=

1

2n

-

1

3n

，需要验证a₁成立

解答： 解：（1）证明∵a_n=

1

2

a_n-1+

1

2

•

1

3n

，
∴a_n+

1

3n

=

1

2

（a_n-1+

1

3n-1

），
∴a₁+

1

3

=

1

6

+

1

3

=

1

2

，
故数列{a_n+

1

3n

}是以

1

2

为首项，以

1

2

为公比的等比数列；
（2）由（1）可知a_n+

1

3n

=

1

2

×(

1

2

)n-1=(

1

2

)n，
所以a_n=(

1

2

)n-

1

3n

=

1

2n

-

1

3n

，
验证a₁=

1

2

-

1

3

=

1

6

成立，
故以a_n=

1

2n

-

1

3n

．

点评：本题考查了等比数列的定义和通项公式，属于基础题