Question

若sin²α+2sin²β=2cosα，则sin²α+sin²β的最大值是

 

，最小值是

 

．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：三角函数的图像与性质

分析：令t=cosα，则由sin²β=（t+1）²-2≥0以及t∈[-1，1]，求得

2

-1≤t≤1．再由f（t）=sin²α+sin²β=-

1

2

[（t-1）²-2]，利用二次函数的性质求得它的最值．

解答： 解：∵sin²α+2sin²β=2cosα，令t=cosα，则sin²β=2cosα-sin²α=（cosα+1）²-2=（t+1）²-2≥0．
再根据t∈[-1，1]，求得

2

-1≤t≤1．
由f（t）=sin²α+sin²β=1-cos²α+（t+1）²-2=-

1

2

[（t-1）²-2]，
而且函数f（t）在[

2

-1，1]上单调递增，
故有f（

2

-1）≤f（t）≤f（1），即 2

2

-2≤f（t）≤1，
故答案为：1，2

2

-2．

点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，二次函数的性质，余弦函数的值域，属于基础题．