Question

时下，租车已成为新一代的流行词，租车自驾游也慢慢流行起来．已知甲、乙两人租车自驾到黄山游玩，某小车租车点的收费标准是：不超过两天按照300元计算；超过两天的部分每天收费标准为100元（不足一天部分按1天计算）．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车自驾游（各租一车一次），设甲、乙不超过两天还车的概率分别为

1

3

，

1

2

；2天以上且不超过3天还车的概率分别为

1

2

，

1

3

；两人租车时间都不会超过4天．
（I）求甲所付租车费用大于乙所付租车费用的概率；
（II）设甲、乙两人所付租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望E（ξ）．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）由甲所付租车费用大于乙所付租车费用，知甲租车3天，乙租车2天或甲租车4天，乙租车2天或3天，由此能求出甲所付租车费用大于乙所付租车费用的概率．
（2）由已知得ξ可能取值为600，700，800，900，1000，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列与数学期望E（ξ）．

解答： 解：（Ⅰ）∵甲所付租车费用大于乙所付租车费用，
∴甲租车3天，乙租车2天或甲租车4天，乙租车2天或3天，
∵甲、乙不超过两天还车的概率分别为

1

3

，

1

2

，
2天以上且不超过3天还车的概率分别为

1

2

，

1

3

，两人租车时间都不会超过4天，
∴甲所付租车费用大于乙所付租车费用的概率：
P=

1

2

×

1

2

+(1-

1

2

-

1

3

)(

1

2

+

1

3

)=

7

18

．
（2）由已知得ξ可能取值为600，700，800，900，1000，
P（ξ=600）=

1

3

×

1

2

=

1

6

，
P（ξ=700）=

1

3

×

1

3

+

1

2

×

1

2

=

13

36

，
P（ξ=800）=

1

3

(1-

1

2

-

1

3

)+

1

2

(1-

1

3

-

1

2

)+

1

2

×

1

3

=

11

36

，
P（ξ=1000）=（1-

1

2

-

1

3

）（1-

1

2

-

1

3

）=

1

36

，
P（ξ=900）=1-

1

6

-

13

36

-

1

6

-

1

36

=

5

36

，
∴ξ的分布列为：

ξ	600	700	800	900	1000
P	1 6	13 36	11 36	5 36	1 36

Eξ=600×

1

6

+700×

13

36

+800×

11

36

+900×

5

36

+1000×

1

6

=750．

点评：本题主要考查概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，考查数据处理能力．