Question

一家医药研究所，从中草药中提取并合成了甲、乙两种抗“H病毒”的药物，经试验，服用甲、乙两种药物痊愈的概率分别为

1

2

，

1

3

，现已进入药物临床试用阶段，每个试用组由4位该病毒的感染者组成，其中2人试用甲种抗病毒药物，2人试用乙种抗病毒药物，如果试用组中，甲种抗病毒药物治愈人数人数超过乙种抗病毒药物的治愈人数，则称该组为“甲类组”，
（1）求一个试用组为“甲类组”的概率；
（2）观察3个试用组，用η表示这3个试用组中“甲类组”的个数，求η的分布列和数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,列举法计算基本事件数及事件发生的概率,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（1）设A_i表示事件“一个试用组中，服用甲种抗病毒有效的有i人”，i=0，1，2，B_j表示事件“一个试用组中，服用乙种抗病毒药物有效的有j人”，j=0，1，2，一个试用组为“甲类组”的概率P=P（B₀A₁）+P（B₀A₂）+P（B₁A₂），由此能求出结果．
（2）η的可能取值为0，1，2，3，且η～B（3，

4

9

），由此能求出η的分布列和数学期望．

解答： 解：（1）设A_i表示事件“一个试用组中，服用甲种抗病毒有效的有i人”，i=0，1，2，
B_j表示事件“一个试用组中，服用乙种抗病毒药物有效的有j人”，j=0，1，2，
依题意有P（A₁）=2×

1

2

×

1

2

=

1

2

，P（A₂）=

1

2

×

1

2

=

1

4

，
P（B₀）=

2

3

×

2

3

=

4

9

，P（B₁）=2×

1

3

×

2

3

=

4

9

，
∴一个试用组为“甲类组”的概率：
P=P（B₀A₁）+P（B₀A₂）+P（B₁A₂）
=

4

9

×

1

2

+

4

9

×

1

4

+

4

9

×

1

4

=

4

9

．
（2）η的可能取值为0，1，2，3，
且η～B（3，

4

9

），
∴P（η=0）=

C

0 3

(1-

4

9

)3=

125

729

，
P（η=1）=

C

1 3

(

4

9

)(1-

4

9

)2=

100

243

，
P（η=2）=

C

2 3

(

4

9

)2(1-

4

9

)=

80

243

，
P（η=3）=（

4

9

）³=

64

729

，
∴η的分布列为：

η	0	1	2	3
P	125 729	100 243	80 243	64 729

∵η～B（3，

4

9

），∴Eη=3×

4

9

=

4

3

．

点评：本题主要考查概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，考查数据处理能力．