Question

18．设（3x-1）¹⁵=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_kx^k…+a₁₄x¹⁴+a₁₅x¹⁵求：
（1）$\sum_{k=0}^{15}$a_k；
（2）a₄+a₆+a₈+a₁₀+a₁₂+a₁₄；
（3）$\sum_{k=0}^{15}$（k+1）a_k．

Answer 1

分析 （1）在所给的等式中，令x=1，可得要求式子的值．
（2）在所给的等式中，给x赋不同的值，得到几个不同的式子，再利用这几个不同的式子，解方程求得要求式子的值．
（3）在所给的等式中，两边同时乘以x，再求导数，可得${（3x-1）^{15}}+45x{（3x-1）^{14}}={a_0}+2{a_1}x+3{a_2}{x^2}+…+15{a_{14}}{x^{14}}+16{a_{15}}{x^{15}}$，再令x=1，可得要求式子的值．

解答 解：（1）在${（3x-1）^{15}}={a_0}+\sum_{k=1}^{15}{{a_k}{x^k}}（*）$中，令x=1，则得$\sum_{k=0}^{15}{a_k}={2^{15}}=32768$．   
（2）由（1）知a₀+a₁+a₂ +…+a_k…+a₁₄+a₁₅ =$\sum_{k=0}^{15}{a_k}={2^{15}}$ ①，
在（3x-1）¹⁵=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_kx^k…+a₁₄x¹⁴+a₁₅x¹⁵ 中，令x=-1，得a₀-a₁+a₂ +…+（-1）^ka_k…+a₁₄ -a₁₅ =$\sum_{k=0}^{15}{{{（-1）}^k}{a_k}}=-{4^{15}}$ ②，
令x=0，${a_0}=C_{15}^0{（-1）^{15}}{3^0}=-1$ ③，
则得又（3x-1）¹⁵=（-1+3x）¹⁵的展开式中可知${a_2}=C_{15}^2{（-1）^{13}}{3^2}=-945$ ④．
由①②③④得${a_4}+{a_6}+{a_8}+{a_{10}}+{a_{12}}+{a_{14}}={2^{14}}-{2^{29}}+946$．
（3）在${（3x-1）^{15}}={a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}+…+{a_r}{x^r}+…+{a_{14}}{x^{14}}+{a_{15}}{x^{15}}$ 的两边同乘以x，可得$x{（3x-1）^{15}}={a_0}x+{a_1}{x^2}+{a_2}{x^3}+…+{a_{14}}{x^{15}}+{a_{15}}{x^{16}}$，
两边求导得${（3x-1）^{15}}+45x{（3x-1）^{14}}={a_0}+2{a_1}x+3{a_2}{x^2}+…+15{a_{14}}{x^{14}}+16{a_{15}}{x^{15}}$，
令x=1，则得$\sum_{k=0}^{15}{（k+1）{a_k}}=47×{2^{14}}$．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求函数的导数，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于中档题．