Question

7．π为圆周率，e=2.71828…为自然对数的底数．根据函数f（x）=$\frac{lnx}{x}$的单调性可得π³，3^π，π^e，e^π这四个数中的最大数为（　　）

• A． e^π
• B． π^e
• C． 3^π
• D． π³

Answer 1

分析 先根据分式求导法则，求出函数的单调性，通过数的大小比较，可以考虑函数y=lnx，y=e^x，y=π^x的单调性即可．

解答 解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），
由f（x）=$\frac{lnx}{x}$，得f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
当f′（x）＞0，即0＜x＜e时，f（x）单调递增，
当f′（x）＜0，即x＞e时，f（x）单调递减，
所以函数f（x）的单调递增区间为（0，e），单调递减区间为（e，+∞）．
∵e＜3＜π，∴π^e＜π³，e^π＜3^π，
∴这4个数的最大数在π³与3^π之中，
∵f（x）在[e，+∞）上单调递减，
∴f（π）＜f（3），
∴$\frac{lnπ}{π}$＜$\frac{ln3}{3}$，3lnπ＜πln3，
∴π³＜3^π，
∴4个数中的最大数是3^π．

点评 1、求单调区间时，先写出函数的定义域，为后面取区间时作参考．
2、利用指数函数、对数函数的单调性比较数的大小时，应注意以下几个要点：
（1）寻找同底的指数式或对数式；
（2）分清是递增还是递减；
（3）把自变量的值放到同一个单调区间上．