Question

10．已知椭圆的离心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，左、右焦点分别为F₁、F₂，定点，P（2，$\sqrt{3}$），点F₂在线段PF₁的中垂线上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx+m与椭圆C交于M、N两点，直线F₂M、F₂N的倾斜角分别为α、β且α+β=π，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆的离心率求得a=$\sqrt{2}$c，且丨F₁F₂丨=丨PF₂丨，利用勾股定理即可求得c及a和b的值；
（Ⅱ）将直线代入椭圆方程，利用直线的斜率公式求得${k}_{{F}_{1}M}$=$\frac{k{x}_{1}+m}{{x}_{1}-1}$，${k}_{{F}_{1}N}$=$\frac{k{x}_{2}+m}{{x}_{2}-1}$，由${k}_{{F}_{1}M}$+${k}_{{F}_{1}N}$=0，结合韦达定理，即可求得m=-2k．则直线MN过定点，该定点的坐标为（2，0）．

解答 解：（Ⅰ）由椭圆C的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则a=$\sqrt{2}$c，
椭圆C的左、右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0），又点F₂在线段PF₁的中垂线上
∴丨F₁F₂丨=丨PF₂丨，∴（2c）²=（$\sqrt{3}$）²+（2-c）²，解得：c=1，
则a=$\sqrt{2}$，b²=a²-c²=1，
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）证明：由题意，知直线MN存在斜率，设其方程为y=kx+m
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$消去y，得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0．
设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），则x₁+x₂=-$\frac{4km}{2{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}$，
且${k}_{{F}_{1}M}$=$\frac{k{x}_{1}+m}{{x}_{1}-1}$，${k}_{{F}_{1}N}$=$\frac{k{x}_{2}+m}{{x}_{2}-1}$
由已知α+β=π，得${k}_{{F}_{1}M}$+${k}_{{F}_{1}N}$=0，即$\frac{k{x}_{1}+m}{{x}_{1}-1}$+$\frac{k{x}_{2}+m}{{x}_{2}-1}$=0，
化简，得2kx₁x₂+（m-k）（x₁+x₂）-2m=0，
∴2k×$\frac{2{m}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}$-（m-k）（$\frac{4km}{2{k}^{2}+1}$）-2m．整理得m=-2k．
∴直线MN的方程为y=k（x-2），
∴直线MN过定点，该定点的坐标为（2，0）．

点评 本题考查椭圆的标准方程及离心率公式，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．