Question

2．设函数f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$．
求（1）函数f（x）的单调区间；
（2）当x＞0时，求证：e^x≥ex．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）根据函数的单调性求出f（x）的最小值是f（1）=e，从而证明结论即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，
令f′（x）＜0，解得：x＜1，
故f（x）在（-∞，1）递减，在（1，+∞）递增；
（2）由（1）f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，
故f（x）_min=f（1）=e，
故$\frac{{e}^{x}}{x}$≥e，即e^x≥ex．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道中档题．