Question

求下列函数的值域
（1）y=

x2-2x+5

x-1

；
（2）若x、y满足3x²+2y²=6x，求z=x²+y²的值域；
（3）f（x）=|2x+1|-|x-4|；
（4）y=x+

x-1

；
（5）f（x）=

x2+5

x2+4

．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）利用基本不等式求值域；
（2）配方法求值域；
（3）化为分段函数求值域；
（4）观察函数的单调性，利用单调性求值域；
（5）利用单调性求值域．

解答： 解：（1）y=

x2-2x+5

x-1

=（x-1）+

4

x-1

；
∵（x-1）+

4

x-1

≥4或（x-1）+

4

x-1

≤-4；
∴y=

x2-2x+5

x-1

的值域为（-∞，-4]∪[4，+∞）；
（2）∵3x²+2y²=6x得y²=-

3

2

x²+3x（0≤x≤2），
∴z=x²+y²=x²-

3

2

x²+3x=-

1

2

（x-3）²+

9

2

，
∵0≤x≤2，
∴0≤-

1

2

（x-3）²+

9

2

≤4，
（3）f（x）=|2x+1|-|x-4|=

x+5，x≥4 3x-3，- 1 2 ＜x＜4 -x-5，x≤- 1 2

，
f（x）=|2x+1|-|x-4|的值域为[-

9

2

，+∞）；
（4）∵x≥1，∴y=x+

x-1

在[1，+∞）上单调递增，
∴y≥1，∴y=x+

x-1

的值域为[1，+∞）；
（5）f（x）=

x2+5

x2+4

=

x2+4

+

1

x2+4

，
∵y=x+

1

x

在[2，+∞）上是增函数，
又∵

x2+4

≥2，
∴f（x）≥f（0）=2+

1

2

=

5

2

．
则函数f（x）=

x2+5

x2+4

的值域为[

5

2

，+∞）．

点评：本题考查了函数值域的求法．高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法，8、分离常数法，9、单调性法，10、利用导数求函数的值域，11、最值法，12、构造法，13、比例法．要根据题意选择．