Question

已知圆C：x²+y²=4，点P（x₀，y₀）在直线x-y-4=0上，O为坐标原点，若圆C上存在点Q，使∠OPQ=30°，则x₀的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：直线与圆

分析：因为O是圆心，Q是圆上的点，则∠OPQ以PQ为切线时最大，在直角三角形POQ中，直角边OQ=2是定值，因此当PQ为切线时，且∠OPQ=30°时P点的位置（左右两个点）为边界位置，其它符合题意的点都介于这两个点之间，据此求解．

解答： 解：由O是圆心，Q是圆上的点，则∠OPQ以PQ为切线时最大，在直角三角形POQ中，直角边OQ=2是定值，因此当PQ为切线时，且∠OPQ=30°时P点的位置（左右两个点）为边界位置，其它符合题意的点都介于这两个点之间．
此时，在三角形POQ中，因为∠OPQ=30°，且OQ=2，所以sin∠OPQ=

OQ

OP

=

1

2

，
故OP=4，设P（x₀，x₀-4），所以OP=

x02+(x0-4)2

，
解得x₀=0或x₀=4．
故x₀的范围是[0，4]．
故答案为：[0，4]．

点评：本题考查了圆的几何性质，通过分析先将问题转化为圆的切线问题，最终化成点到直线的距离问题．