Question

已知关于x的方程x²-2tx-1=0的两不等实根为x₁，x₂（x₁＜x₂），函数f（x）=

x-t

x2+1

的定义域为[x₁，x₂]．
（1）求f（x₁）•f（x₂）的值；
（2）设maxf（x）表示函数f（x）的最大值，minf（x）表示函数f（x）的最小值，记函数g（t）=maxf（x）-minf（x），求函数h（t）=g（log₂t）•g（log₁2）在t∈（1，2]的值域．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,函数的定义域及其求法,函数的值域,函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用

分析：（1）结合韦达定理得到两根之和、两根之积，然后整体代入f（x₁）f（x₂）即可；
（2）先将t看成参数，求出f（x）的最值（用t表示），以此得到g（t）=maxf（x）-minf（x），再利用换元法研究将函数h（t）进行转化，研究转化后的函数的单调性求其值域．

解答： 解（1）由韦达定理得：x₁x₂=-1，x₁+x₂=2t，
则f（x₁）f（x₂）=

x1-t

x12+1

•

x2-t

x22+1

=

x1x2-t(x1+x2)+t2

x12x22+(x1+x2)2-2x1x2+1

=-

1

4

．
（2）f′(x)=

x2+2tx+1

(x2+1)2

，由于x₁，x₂为方程x²-2tx-1=0的两实根，
故当x∈[x₁，x₂]时，x²-2tx-1≤0恒成立，得f′（x）≥0在[x₁，x₂]上恒成立，
所以f（x）在[x₁，x₂]上递增，
所以由题意知g（t）=f（x₂）-f（x₁）=

x2-t

x22+1

-

x1-t

x12+1

，
结合（1），将1=-x₁x₂，t=

x1+x2

2

代入上式化简得
g（t）=

x1-x2

2x1x2

=

t2+1

．
在h（t）中，令u=log₂t，则u∈（0，1]，
则函数化为y=

u2+1

•

1 u2 +1

，化简得y=

u2+1

u

=u+

1

u

，u∈（0，1]，
根据对勾函数的性质，该函数在（0，1]上递减，
所以函数h（t）的值域为[2，+∞）．

点评：本题综合考查了函数的单调性、最值等知识方法；中间利用韦达定理进行整体代换进行化简利用换元法研究函数的值域等方法要注意体会．