Question

如图，在几何体ABCDE中，平面ABC⊥平面BCD，AE∥BD，△ABC为边长等于2的正三角形，CD=2

3

，BD=4，AE=2，M为CD的中点．
（Ⅰ）证明：平面ECD⊥平面ABC；
（Ⅱ）证明：EM∥平面ABC．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）证明BC⊥CD，利用平面ABC⊥平面BCD，可得DC⊥平面ABC，即可证明平面ECD⊥平面ABC；
（Ⅱ）取BC中点F，连接FM，证明四边形AEMF为平行四边形，可得AF∥EM，即可证明：EM∥平面ABC．

解答： 证明：（Ⅰ）在△BCD中，BC=2，CD=2

3

，BD=4，
∴BC²+CD²=BD²，
∴BC⊥CD，
∵平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，
∴DC⊥平面ABC，
∵DC?平面ECD，
∴平面ECD⊥平面ABC；
（Ⅱ）取BC中点F，连接FM．
在△BCD中，CF=FB=MD，
∴FM∥BD，FM=

1

2

BD，
∵AE=2，BD=4，AE∥BD，
∴FM∥AE．FM=AE，
∴四边形AEMF为平行四边形，
∴AF∥EM，
∵AF?平面ABC，EM?平面ABC，
∴EM∥平面ABC．

点评：本题考查平面与平面垂直的判定，考查直线与平面平行的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．