Question

正实数a、b、c满足a+b+c=1，a²+2b²+3c²=1，问：a有没有最大值、最小值？如果有，试求之；如果没有，说明理由．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：由正实数a、b、c满足a+b+c=1，可得b=1-a-c，代入a²+2b²+3c²=1，可得3a²+（4c-4）a+5c²-4c+1=0，利用△≥0及c＞0可得c的取值范围．由3a²+（4c-4）a+5c²-4c+1=0，解得a=

2-2c- 1+4c-11c2

3

．利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．

解答： 解：∵正实数a、b、c满足a+b+c=1，
∴b=1-a-c，
代入a²+2b²+3c²=1，
可得：3a²+（4c-4）a+5c²-4c+1=0，
由△≥0可得11c²-4c-1≤0，及c＞0，解得0＜c≤

2+ 15

11

．
解得a=

2-2c+ 1+4c-11c2

3

或a=

2-2c- 1+4c-11c2

3

．
取a=

2-2c- 1+4c-11c2

3

，0＜c≤

2+ 15

11

．
a′=-

1

3

(2+

2-11c

1+4c-11c2

)，
令a′=0，解得c=

4

11

．
当0＜c＜

4

11

时，a′＜0，函数a（c）单调递减；当

4

11

＜c＜

2+ 15

11

时，a′＞0，函数a（c）单调递增．
可知：当c=

4

11

时，a取得最小值

1

11

．
因此a有最小值

1

11

，没有最大值．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了消元的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．