Question

已知椭圆的两个焦点坐标分别是（-

2

，0），（

2

，0），并且经过点（

2

2

，

30

6

）．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若斜率为k的直线l经过点（0，-2），且与椭圆交于不同的两点A、B，求△OAB面积的最大值．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用待定系数法求椭圆的标准方程，在求a时利用椭圆的定义比较简单；
（2）利用弦长公式先求出|AB|，然后利用面积公式构建关于斜率k的函数，通过换元法利用基本不等求△OAB面积的最大值．

解答： 解：（1）设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
由椭圆的定义可得2a=

( 2 2 + 2 )2+( 30 6 )2

+

( 2 2 - 2 )2+( 30 6 )2

=2

3

．
∴a=

3

，又c=

2

，
∴b=1，
故椭圆的标准方程为

x2

3

+y2=1． 

（2）设直线l的方程为y=kx-2，
由

x2 3 +y2=1 y=kx-2

，得（1+3k²）x²-12kx+9=0，
依题意△=36k²-36＞0，
∴k²＞1（*） 
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x1+x2=

12k

1+3k2

，x1x2=

9

1+3k2

，
∴|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

×

6 k2-1

1+3k2

，
由点到直线的距离公式得d=

2

1+k2

，
∴S△=

1

2

×

1+k2

×

6 k2-1

1+3k2

×

2

1+k2

=

6 k2-1

1+3k2

．  
设

k2-1

=t(t＞0)，则k2=t2+1，
∴S△OAB=6×

t

1+3(t2+1)

=6×

t

3t2+4

=6×

1

3t+ 4 t

≤

3

2

，
当且仅当t=

2 3

3

时，上式取等号，
所以，△OAB面积的最大值为

3

2

．

点评：第（1）问用待定系数法求椭圆的方程时，也可以把点代入方程求解，但这种方法计算量大；第（2）问得到的面积表达式比较复杂，当函数表达式比较复杂时，考虑用换元法转化成简单函数，但要注意转化后函数的定义域．