Question

在平面直角坐标系xOy中，已知点A（-6，0），B（4，0），C（9，m），△ABC的外接圆为⊙M．
（1）若∠CAB=30°，求m值；
（2）若⊙M与直线l：ax+2y+6=0相切于点A，求⊙M的方程；
（3）若⊙M与y轴交于P、Q两点，求PQ长的最小值．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系,圆的标准方程

专题：直线与圆

分析：（1）首先，根据∠CAB=30°，结合直角三角形中边角关系，求解m的值；
（2）先将A（-6，0）代入所给直线方程，求解得到a的值，然后，求解过圆心且和已知直线垂直的直线方程，最后，联立方程组，求解圆的圆心，从而得到其方程；
（3）首先设圆心坐标，然后，根据圆的弦长公式求解弦长的表达式，最后确定其最值．

解答： 解：（1）∵∠CAB=30°，
∴

|m|

15

=tan30°=

3

3

，
∴|m|=5

3

，
∴m=±5

3

，
∴m值为±5

3

；
（2）∵A（-6，0），
将该点坐标代人直线方程，得
a（-6）+2×0+6=0，
解得a=1，
∴直线方程为：x+2y+6=0，
与上述直线垂直且切点为（-6，0）的直线方程为：
2x-y-12=0，
联立方程组

2x-y-12=0 x=-1

，
解得

x=-1 y=10

，
∴圆心坐标为（-1，10），
半径为r=

(-1+6)2+(10-0)2

=5

5

，
∴⊙M的方程（x+1）²+（y-10）²=125．
（3）设圆心为（-1，b），
则当圆M与直线x=9相切时，r最小，
此时PQ长取得最小值，
此时r=10，圆心到PQ的距离为1，
PQ=2

102-12

=6

11

，
∴PQ长的最小值6

11

．

点评：本题重点考查了圆的性质、直线与圆的位置关系等知识，属于中档题，解题关键是准确掌握圆的性质和直线方程．