Question

已知函数f（x）=

a-b•2x

1+2x

是R上的奇函数，且f（-1）=

1

3

．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）证明f（x）在R上是减函数；
（Ⅲ）解关于x的不等式：f（1-2x）+f（2-x）＜0．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）根据奇函数的性质建立方程关系即可求a，b的值；
（Ⅱ）根据分式函数的性质即可证明f（x）在R上是减函数；
（Ⅲ）根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=

a-b•2x

1+2x

是R上的奇函数，且f（-1）=

1

3

．
∴f（0）=

a-b

1+1

=0，即a=b，且f（-1）=

a-a• 1 2

1+ 1 2

=

1

3

，
解得a=1，则b=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=

1-2x

1+2x

，
则f（x）=

1-2x

1+2x

=

2-(1+2x)

1+2x

=

2

1+2x

-1，
∵y=1+2^x＞1且则在R上是增函数，
∴y=

2

1+2x

在R上是减函数，
则y=

2

1+2x

-1在R上是减函数
故f（x）在R上是减函数；
（Ⅲ）∵f（x）在R上是减函数且是奇函数，
∴不等式f（1-2x）+f（2-x）＜0等价为f（1-2x）＜-f（2-x）=f（x-2）．
则1-2x＞x-2，
即x＜1．
即不等式的解集为（-∞，1）．

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，以及利用奇偶性和单调性解不等式，综合考查函数性质的应用．