Question

已知函数f（x）=cos²ωx+2sinωxcosωx-sin²ωx（ω＞0），且周期为π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）当x∈[0，

π

2

]时，求f（x）最大值及取得最大值时x的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法,正弦函数的图象

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）化简解析式可得f（x）=

2

sin（2ωx+

π

4

），由T=π且ω＞0，即可求ω的值．
（2）由已知先求得

π

4

≤2x+

π

4

≤

5π

4

，可求得-1≤

2

sin（2x+

π

4

）≤

2

，从而可求f（x）最大值及取得最大值时x的值．

解答： 解：（1）∵f（x）=cos2ωx+sin2ωx=

2

（

2

2

cos2ωx+

2

2

sin2ωx） 
=

2

sin（2ωx+

π

4

）
∵T=π且ω＞0，故

2π

2ω

=π，则ω=1 

（2）由（1）知f（x）=

2

sin（2x+

π

4

），
∵0≤x≤

π

2

，
∴

π

4

≤2x+

π

4

≤

5π

4

，
∴-

2

2

≤sin（2x+

π

4

）≤1．
∴-1≤

2

sin（2x+

π

4

）≤

2

 
∴当2x+

π

4

=

π

2

时，即x=

π

8

，y取得最大值为

2

点评：本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，三角函数的图象与性质，属于中档题．