Question

已知函数f（x）=ln（1+x）-ln（1-x），有如下结论：
①?x∈（-1，1）有f（-x）=f（x）
②?x∈（-1，1），有f（-x）=-f（x）
③?x₁，x₂∈（-1，1），有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0
④?x₁，x₂∈（0，1），有f（

x1+x2

2

）≤

f(x1)+f(x2)

2

．
上述结论中正确的个数是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质,对数的运算性质

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：由题意得

1+x＞0 1-x＞0

；从而求出函数f（x）的定义域为（-1，1）；再对四个命题判断．

解答： 解：由题意，

1+x＞0 1-x＞0

；
故f（x）=ln（1+x）-ln（1-x）的定义域为（-1，1）；
f（-x）=ln（1-x）-ln（1+x）=-f（-x）；故①错误，②正确；
由复合函数及四则运算知，
f（x）=ln（1+x）-ln（1-x）在（-1，1）上是增函数，
故③正确；
∵f（x）=ln（1+x）-ln（1-x），
∴f′（x）=

1

1+x

+

1

1-x

=

2

1-x2

在（0，1）上是增函数，
故④正确；
故选C．

点评：本题考查了函数的性质的判断与应用，属于基础题．