Question

设函数f（x）=

1

3

x³-x²-3x．
（1）求f（x）在[-3，3]上的最大值；
（2）设方程f（x）=a有且仅有一个解，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）由已知得f′（x）=x²-2x-3，由此利用导数性质能求出f（x）在[-3，3]上的最大值．
（2）由f′（x）=x²-2x-3＞0，由此利用导数性质能求出f（x）的增区间为（-∞，-1），（3，+∞），减区间为（-1，3），且f（x）_极大值=f（-1）=

5

3

，f（x）_极小值=f（3）=-9，由此能求出方程f（x）=a有且仅有一个解，a的取值范围．

解答： 解：（1）∵f（x）=

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3

x³-x²-3x，
∴f′（x）=x²-2x-3，
由f′（x）=x²-2x-3=0，得x=-1，或x=3，
∵f（-3）=-9，f（-1）=

5

3

，f（3）=-9，
∴f（x）在[-3，3]上的最大值为f（-1）=

5

3

．
（2）由f′（x）=x²-2x-3＞0，得x＜-1，或x＞3，
由f′（x）=x²-2x-3＜0，得-1＜x＜3，
∴f（x）的增区间为（-∞，-1），（3，+∞），减区间为（-1，3），
且f（x）_极大值=f（-1）=

5

3

，f（x）_极小值=f（3）=-9，
∴方程f（x）=a有且仅有一个解，a的取值范围是（-∞，-9]∪[

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3

，+∞）．

点评：本题考查函数的极大值和极小值的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．