Question

已知函数y=f（x）在R上是奇函数，而且在[0，+∞）上是增函数
（1）求证：函数y=f（x）在（-∞，0）上也是增函数．
（2）如果f(

1

2

)=1，解不等式f（2x+1）＞-1．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据奇偶性和单调性之间的关系即可证明函数y=f（x）在（-∞，0）上也是增函数．
（2）根据奇偶性和单调性之间的关系将不等式f（2x+1）＞-1进行等价转化即可得到结论．．

解答： 解：（1）设x₁＜x₂＜0，则-x₁＞-x₂＞0，
∵f（x）在（0，+∞）上是增函数，
则f（-x₁）＞f（-x₂），
解f（x）是奇函数，
∴-f（x₁）＞-f（x₂），
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（-∞，0）上为增函数．
（2）∵f(

1

2

)=1，
∴f（-

1

2

）=-f（

1

2

）=-1，
则不等式f（2x+1）＞-1等价为f（2x+1）＞f（-

1

2

），
∵奇函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，
∴f（x）在（-∞，+∞）上是增函数，
则2x+1＞-

1

2

，
则x＞-

3

2

，
即不等式的解集为{x|x＞-

3

2

}．

点评：本题主要考查函数单调性的证明以及不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．