题目内容
已知f（x）=
不等式f（x+a）＞f（2a-x）在[a，a+1]上恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
|
| A、（-2，0） |
| B、（-∞，0） |
| C、（0，2） |
| D、（-∞，-2） |
考点：分段函数的应用,函数恒成立问题
专题：函数的性质及应用
分析：由分段函数知，分两部分讨论函数的单调性，从而可得f（x）在R上是减函数，化恒成立问题为x+a＜2a-x在[a，a+1]上恒成立；从而化为最值问题即可．
解答：
解：①当x≤0时，f（x）=x2-4x+3=（x-2）2-1，
故f（x）在（-∞，0]上是减函数；
②当x＞0时，f（x）=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，
故f（x）在（0，+∞）上是减函数；
又∵（0-2）2-1=-（0+1）2+4，
∴f（x）在R上是减函数，
∴不等式f（x+a）＞f（2a-x）在[a，a+1]上恒成立可化为
x+a＜2a-x在[a，a+1]上恒成立；
即2x＜a在[a，a+1]上恒成立，
故2（a+1）＜a，
解得，a＜-2；
故选D．
故f（x）在（-∞，0]上是减函数；
②当x＞0时，f（x）=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，
故f（x）在（0，+∞）上是减函数；
又∵（0-2）2-1=-（0+1）2+4，
∴f（x）在R上是减函数，
∴不等式f（x+a）＞f（2a-x）在[a，a+1]上恒成立可化为
x+a＜2a-x在[a，a+1]上恒成立；
即2x＜a在[a，a+1]上恒成立，
故2（a+1）＜a，
解得，a＜-2；
故选D．
点评：本题考查了分段函数的性质应用及分段函数的单调性的判断，同时考查了恒成立问题化为最值问题，属于中档题．
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下列命题中，是假命题的是（ ）
A、?x∈（0，
| ||||||||
| B、?x∈R，sin2x=2sinxcosx | ||||||||
C、|
| ||||||||
| D、4log43=3 |
如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AA1=1，AD=
，则异面直线A1D1与B1C所成角的大小为（ ）
| 3 |
| A、60° | B、45° |
| C、30° | D、90° |