题目内容
已知向量
，
满足|
|=2，|
|=1，且对一切实数x，|
+x
|≥|
+
|恒成立，则
，
的夹角的大小为 ．
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
考点：平面向量数量积的运算
专题：不等式的解法及应用,平面向量及应用
分析：设
，
的夹角为θ，求得
•
=2cosθ，再由向量的平方即为模的平方，对一切实数x，|
+x
|≥|
+
|恒成立，即有不等式x2+4xcosθ-1-4cosθ≥0恒成立，运用判别式不大于0，解不等式，再由非负数概念和夹角的范围，即可得到所求夹角．
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
解答：
解：设
，
的夹角为θ，
则
•
=2×1×cosθ=2cosθ，
不等式|
+x
|≥|
+
|即为
（
+x
）2≥（
+
）2，
即
2+2x
•
+x2
2≥
2+2
•
+
2，
即有4+4xcosθ+x2≥4+4cosθ+1，
即x2+4xcosθ-1-4cosθ≥0，
由对一切实数x，|
+x
|≥|
+
|恒成立，
则有△≤0，即为16cos2θ+4（1+4cosθ）≤0，
即有（2cosθ+1）2≤0，
则有2cosθ+1=0，
即cosθ=-
，
由0≤θ≤π，可得θ=
．
故答案为：
．
| a |
| b |
则
| a |
| b |
不等式|
| a |
| b |
| a |
| b |
（
| a |
| b |
| a |
| b |
即
| a |
| a |
| b |
| b |
| a |
| a |
| b |
| b |
即有4+4xcosθ+x2≥4+4cosθ+1，
即x2+4xcosθ-1-4cosθ≥0，
由对一切实数x，|
| a |
| b |
| a |
| b |
则有△≤0，即为16cos2θ+4（1+4cosθ）≤0，
即有（2cosθ+1）2≤0，
则有2cosθ+1=0，
即cosθ=-
| 1 |
| 2 |
由0≤θ≤π，可得θ=
| 2π |
| 3 |
故答案为：
| 2π |
| 3 |
点评：本题考查向量的数量积的性质，主要考查向量的平方即为模的平方，同时考查二次不等式恒成立思想，运用判别式不大于0是解题的关键．
练习册系列答案
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甲、乙两所学校高三级某学年10次联合考试的理科数学成绩平均分用茎叶图如图所示，则甲乙两所学校的平均分. |
| x |
A、
| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、
|
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A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|
已知f（x）=
不等式f（x+a）＞f（2a-x）在[a，a+1]上恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
|
| A、（-2，0） |
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