Question

设函数f（x）=x|x|+bx+c，
①函数f（x）在R上有最小值；
②当b＞0时，函数f（x）在R上是单调增函数；
③函数f（x）的图象关于点（0，c）对称；
④当b＜0时，方程f（x）=0有三个不同实数根的充要条件是b²＞4|c|．
则上述命题中所有正确命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：计算题,阅读型,分类讨论,函数的性质及应用

分析：①当b＜0时，可以根据函数的值域加以判断函数f（x）在R上是否有最小值；
②当b＞0时，把函数f（x）=|x|x+bx+c分x≥0和x＜0两种情况讨论，转化为二次函数求单调性；
③函数f（x）的图象关于点（0，c）对称，可以根据函数图象的平移解决；
④当b＜0时，方程f（x）=0有三个不同实数根，考虑函数f（x）与x轴有三个交点，如图，其充要条件是函数y=f（x）的极大值大于0且极小值小于0，即可得到结论．

解答： 解：对于①，当b＜0时，f（x）=|x|x+bx+c
=

x2+bx+c，x≥0 -x2+bx+c，x＜0

，值域是R，
故函数f（x）在R上没有最小值，则①错；
对于②，当b＞0时，f（x）=|x|x+bx+c=

x2+bx+c，x≥0 -x2+bx+c，x＜0

，
知函数f（x）在R上是单调增函数，则②对；
对于③，若f（x）=|x|x+bx，
那么函数f（x）是奇函数（f（-x）=-f（x）），
也就是说函数f（x）的图象关于（0，0）对称．
而函数f（x）=|x|x+bx+c的图象是由函数f（x）=|x|x+bx的图象沿y轴移动，故图象一定是关于（0，c）对称的，则③对；
对于④，当b＜0时，方程f（x）=0有三个不同实数根，
考虑函数f（x）与x轴有三个交点，如图，
其充要条件是函数y=f（x）的极大值大于0且极小值小于0，
即

4c-b2

4

＜0，

-4c-b2

-4

＞0，即有b²＞4c且b²＞-4c，即有b²＞4|c|成立，
则④对．
故答案为：②③④

点评：本题考查了分段函数的单调性、对称性和最值等问题，对于含有绝对值的一类问题，通常采取去绝对值的方法解决，体现了分类讨论的数学思想；函数的对称性问题一般转化为函数的奇偶性加以分析，再根据函数图象的平移解决，体现了转化、运动的数学思想；对于存在性的命题研究，一般通过特殊值法来解决．