Question

已知函数y=

f′(x)

x

的图象如图所示（其中f′（x）是定义域为R函数f（x）的导函数），则以下说法错误的是（　　）

• A、f′（1）=f′（-1）=0
• B、当x=-1时，函数f（x）取得极大值
• C、方程xf′（x）=0与f（x）=0均有三个实数根
• D、当x=1时，函数f（x）取得极小值

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数的图象,导数的运算

专题：导数的综合应用

分析：根据函数单调性和导数之间的关系，分别进行判断即可．

解答： 解：A．由图象可知x=1或-1时，f′（1）=f′（-1）=0成立．
B．当x＜-1时，

f′(x)

x

＜0，此时f′（x）＞0，当-1＜x＜0时，

f′(x)

x

＞0，此时f′（x）＜0，故当x=-1时，函数f（x）取得极大值，成立．
C．方程xf′（x）=0等价为x2•

f′(x)

x

=0，故xf′（x）=0有两个，故C错误．
D．当0＜x＜1时，

f′(x)

x

＜0，此时f′（x）＜0，当x＞1时，

f′(x)

x

＞0，此时f′（x）＞0，故当x=1时，函数f（x）取得极小值，成立．
故选：C

点评：本题主要考查导数的应用，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．