Question

如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，AB=AC=1，AA₁=2，∠B₁A₁C₁=90°，D为BB₁中点，求证：AD⊥平面A₁DC₁．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：根据直棱柱的几何特征，结合∠B₁A₁C₁=90°，可证得A₁C₁⊥平面A₁B₁BA，进而AD⊥A₁C₁，由勾股定理可得A₁D⊥AD，最后由线面垂直的判定定理得到AD⊥平面A₁DC₁．

解答： 证明：∵AA₁⊥平面A₁B₁C₁，
∴AA₁⊥A₁C₁
又A₁C₁⊥A₁B₁，
∴A₁C₁⊥平面A₁B₁BA
∴AD⊥A₁C₁
∵AD=

2

，A₁D=

2

，AA₁=2，
由AD²+A₁D²=AA12，
得A₁D⊥AD
∵A₁C₁∩A₁D=A₁
∴AD⊥平面A₁DC₁

点评：本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力，计算能力，属于基本知识的考查，属于中档题．