Question

已知a＞0，函数f（x）=

x2

2

+2a（a+1）1nx-（3a+1）x．
（1）若函数f（x）在x=l处的切线与直线y-3x=0平行，求a的值；
（2）求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（1）求出导数，求出切线的斜率，由两直线平行的条件可得方程，解出即可；
（2）求出导数并分解因式，对a讨论，分a=1，a＞1，0＜a＜1，解大于0的不等式，即可得到增区间．

解答： 解：（1）函数f（x）的导数f′（x）=x+

2a(a+1)

x

-（3a+1），
则函数f（x）在x=l处的切线斜率为1+2a（a+1）-（3a+1）=2a²-a，
由于切线与直线y-3x=0平行，则2a²-a=3，解得，a=

3

2

（-1舍去）；
（2）由于f′（x）=x+

2a(a+1)

x

-（3a+1）=

(x-2a)(x-a-1)

x

（x＞0，a＞0），
当a=1时，f′（x）=

(x-2)2

x

≥0，f（x）递增；
当a＞1时，2a＞a+1，f′（x）＞0，解得，x＞2a，或0＜x＜a+1，f（x）递增；
当0＜a＜1时，2a＜a+1，f′（x）＞0，解得，x＞a+1，或0＜x＜2a，f（x）递增．
则a=1，f（x）的增区间为（0，+∞）；
a＞1，f（x）的增区间为：（2a，+∞），（0，a+1）；
0＜a＜1时，f（x）的增区间为：（1+a，+∞），（0，2a）．

点评：本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．