Question

5．如图，已知圆心为C（4，3）的圆经过原点O．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）设直线3x-4y+m=0与圆C交于A，B两点．若|AB|=8，求m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由两点间距离公式求出圆C的半径，由此能求出圆C的方程．
（Ⅱ）作CD⊥AB于D，则CD平分线段AB，从在则 $|AD|\;=\frac{1}{2}|AB|\;=4$，由勾股定理求出CD，由点到直线的距离公式求出CD，由此能求出m．

解答 （本小题满分13分）
（Ⅰ）解：∵圆心为C（4，3）的圆经过原点O，
∴圆C的半径 $|OC|\;=\sqrt{{3^2}+{4^2}}=5$，（3分）
∴圆C的方程为（x-4）²+（y-3）²=25．（5分）
（Ⅱ）解：∵直线3x-4y+m=0与圆C交于A，B两点．若|AB|=8，
作CD⊥AB于D，则CD平分线段AB，
∴$|AD|\;=\frac{1}{2}|AB|\;=4$．（7分）
在直角三角形ADC中，$|CD|\;=\sqrt{|AC{|^2}-|AD{|^2}}=3$．（9分）
由点到直线的距离公式，得$|CD|\;=\frac{|3×4-4×3+m|}{{\sqrt{{3^2}+{4^2}}}}=\frac{|m|}{5}$，（11分）
∴$\frac{|m|}{5}=3$，（12分）
解得m=±15．（13分）

点评 本题考查圆的方程的求法，考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质、点到直线的距离公式的合理运用．