Question

15．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的离心率e=$\sqrt{2}$，一条准线方程为x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，直线l与双曲线右支及双曲线的渐近线交于A、B、C、D四点，四个点的顺序如图所示．
（1）求该双曲线的方程；
（2）求证：|AB|=|CD|．

Answer 1

分析 （1）双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的离心率e=$\sqrt{2}$，一条准线方程为x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求出a，b，c，即可求得双曲线的方程；
（2）设直线为x=my+n代入双曲线方程，渐近线方程，用韦达定理，可得AD、BC的中点重合，即可得到结论．

解答 （1）解：∵双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的离心率e=$\sqrt{2}$，一条准线方程为x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$，$\frac{{a}^{2}}{c}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴a=1，c=$\sqrt{2}$，
∴b=1，
∴双曲线的方程为x²-y²=1；
（2）证明：设直线为x=my+n代入双曲线方程可得（m²-1）y²+6mny+n²-1=0
又双曲线的渐近线方程为x²-y²=0，直线方程代入可得（m²-1）y²+6mny+n²=0
∵直线l与双曲线右支及双曲线的渐近线交于A、B、C、D四点，
∴AD、BC的中点重合
∴|AB|=|CD|．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查双曲线的方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．