Question

13．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形，Q是棱PA的中点．
（Ⅰ）求证：PC∥平面BDQ；
（Ⅱ）若PB=PD，求证：平面PAC⊥平面BDQ．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设AC交BD于点O，连结OQ，证明OQ∥PC．即可利用直线与平面平行的判定定理证明PC∥平面BDQ．
（Ⅱ）连结OP．说明BD⊥AC，BD⊥PO，然后证明BD⊥平面PAC，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面PAC⊥平面BDQ．

解答 （本小题满分13分）
（Ⅰ）证明：设AC交BD于点O，连结OQ．（1分）
因为 底面ABCD为菱形，
所以 O为AC中点．
因为 Q是PA的中点，
所以 OQ∥PC．（4分）
因为 OQ?平面BDQ，PC?平面BDQ，
所以PC∥平面BDQ．（5分）
（Ⅱ）证明：连结OP．（6分）
因为 底面ABCD为菱形，
所以 BD⊥AC，O为BD中点．（8分）
因为 PB=PD，
所以 BD⊥PO．（10分）
又因为：AO∩AC=0，
所以 BD⊥平面PAC．（11分）
因为 BD?平面BDQ，
所以 平面PAC⊥平面BDQ．（13分）．

点评 本题考查平面与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面平行的判定定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．