Question

函数f（x）=x+

a

x

（a＞0）
（1）证明：函数f（x）在区间[

a

，+∞)上是增函数；
（2）试通过研究函数f（x）的基本性质，猜想并写出函数f（x）的单调区间并指出增减性（无需证明）．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用

分析：（1）用定义法证明单调性一般可以分为五步，取值，作差，化简变形，判号，下结论．（2）观察函数可知，其为奇函数，且由（1）知函数f（x）在区间(0，

a

)上是减函数，从而写出其单调区间．

解答： 解：（1）证明：任取x1，x2∈[

a

，+∞)，且x₁＜x₂，
f(x1)-f(x2)=x1+

a

x1

-(x2+

a

x2

)=x1-x2+

a(x2-x1)

x1x2

=(x1-x2)(1-

a

x1x2

)，
∵

a

≤x1＜x2，
∴x₁x₂＞a＞0，即

a

x1x2

＜1，
又∵x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）在区间[

a

，+∞)上是增函数．
（2）由（1）知函数f（x）在区间[

a

，+∞)上是增函数，
同理可得，函数f（x）在区间(0，

a

)上是减函数；
∵函数f（x）为奇函数，
∴函数f（x）在区间(-∞，-

a

]上是增函数，在区间(-

a

，0)上是减函数；
综上所述，函数f（x）在(-∞，-

a

]和[

a

，+∞)上是增函数，在(-

a

，0)和(0，

a

)上是减函数．

点评：本题考查了函数单调性的证明，一般有两种方法，定义法，导数法，同时考查了函数的性质的综合应用，属于基础题．